“1+1=2”这么简单的事，居然也藏着深奥的数学难题？ 数学家向来喜欢挑战基础常识。1965年，传奇数学家Paul Erdős提出一个问题：任意一组整数中，是否总能找到一个足够大的“sum-free子集”？ 换句话说，子集内任意两个数相加，不能等于集合里的另一个数。比如，奇数组成的集合就是典型例子：两个奇数相加是偶数（结果不在奇数集合中）。 这个问题听上去简单，实际极难。Erdős当年只证明了一个下限：任意整数集合中，至少存在一个大小为N/3的sum-free子集。此后几十年，众多数学家试图突破这一界限，最终也只将结果提升到(N+2)/3，始终未有实质性突破。 直到2025年，牛津大学博士研究生Benjamin Bedert彻底解决了这个困扰数学界60年的难题。【图1】 突破的关键，源于Bedert重新审视了1997年数学大师Jean Bourgain【图2】提出的一个方法——使用Littlewood范数来衡量集合的“结构复杂度”。简单理解，集合越“随机”，范数越大；集合越“有序”，范数越小。 在这个方法中，范数较大时可以找到超过N/3的sum-free子集。但面对范数较小的集合，该方法也无能为力。而Bedert博士的突破，在于他发明了一种新方法，把“小范数集合”转化为结构更清晰的形式，使其具备类似等差数列的操作特性。 他的方法包括： 1. 利用等差数列中“和数频繁重复”的特性进行类比； 2. 构建模型，将集合结构转化为傅里叶空间中的波形，用傅里叶变换分析； 3. 改写一条1981年的不等式，从中推出结论：即使Littlewood范数很小，也仍然能从集合中提取出一个比N/3更大的sum-free子集。 最终他证明：任意N个整数构成的集合，必定包含一个大小为N/3 + log(log N)的sum-free子集。虽然log(log N)增长极慢（N为10的100次方时，这个值也不过5左右），但它确实会一直增长，也就是说，sum-free子集的“优势”会随着集合规模变大而持续扩大。 该成果首次确认了Erdős的直觉：sum-free子集确实可以超过N/3，而且这个差值不是静态的，而是可持续扩大的。 尽管这类集合在傅里叶分析中很重要，但过去几乎没人真正拿来用。随着Bedert的研究进展，这项成果也引发了人们对“小范数集合”结构的重新关注。 对数学界而言，这类突破不仅意味着一个难题被解决，更重要的是为理解结构复杂性提供了新视角。 原文链接：-student-solves-classic-problem-about-the-limits-of-addition-20250522/
