女儿拿了道初中数学竞赛压轴题来问宝爸，本以为轻松搞定，毕竟也是985毕业。谁知道，盯着这题看了10分钟，一点思路都没有，女儿在旁边都不耐烦了。 题目是在长方形ABCD里，E在AD上，AE = 3厘米、DE = 6厘米 ，∠BEC = 60° ，求△BCE的面积。乍一看，条件好像都挺明确，可真要算起来，却怎么都理不顺。 以前总觉得学历还行，辅导孩子学习没问题，没想到现在初中题都这么有挑战性。现在的数学竞赛题，越来越考验思维的灵活性和对知识的综合运用能力，光靠常规方法根本行不通。 看来真是不能小瞧现在孩子的学习内容，我得赶紧恶补一下，不然以后辅导女儿作业都要露怯咯。大家有没有什么解这题的好思路呀。中考数学题
先掌握弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。再来做这题
设CD=x，则CE和EB可求出来。过C点做BE的垂线，则垂线的的长度可以用y表示出来。于是，三个三角形：ABE,BCE和CDE的面积可以用y表示出来。最后，这个面积等于9x。一元方程可解x，进而可解BCE的面积。
两种解法，均设AB长度，即三角形BCE高度，为h：解法1、将三角形BCE的面积表达为1/2*BC*CE*sin60°=1/2*9*h，而BC、CE又分别可以用勾股定理表达为两条直角边平方和的平方根。代入后解出h，则所求面积等于9/2*h; 解法2、由点E作BC的垂线交BC于F，则根据正切函数定义式，tg(角BEF)=3/h，tg(角CEF)=6/h。而角BEF+角CEF=60°度，设角BEF角度值为a，则有tg(60-a)=2*tg(a)。tg(60-a)可以按照公式展开，并注意tg60=√3，最终解出tga＝（√11-√3）/4。于是h=3/tga=3/2*(√11+√3)，三角形BCE面积＝9h/2=27/4*(√11+√3)。两种解法最终结果一致。这道题有点意思。另外，我把原题分别让元宝、豆包来解，结果元宝一通苦算最终未能解出，豆包用的是对三角形BCE展开余弦定理，但在解题过程中竟然出现了运算错误以致最后结果错了。
今天你吃瓜了吗
是不是用圆心角∠BOC=2∠BEC=120度，求出外接圆半径啊
alian
这个名字不是好像那个圆周角吗？
宁静致远
利用拉窗帘的方法，E点移到A，三角形面积不变，可以直观知道三角形面积是长方形面积的一半。题目已经告诉我们AD长9，只要求AB或者CD。图上已知角BED是60，按正切即可求得长度。于是面积求得。
一二三四五六七 回复 06-10 17:17
三角形面积需要做辅助线才知道是长方形面积的一半吗？你咋学的？1/2乘底乘高这个公式没学过吗？还是你以为底乘高不是长方形的面积？
韩国省用户62xxxx319 回复 06-14 10:53
同底等高，但60度不能用了。
高低速
很简单，通过已知条件知道 BCE 为等边三角形，用勾股定理得出边长。ok 啦
德先生跟赛先生何在 回复 05-24 06:51
又菜又敢说
色影无忌 回复 05-25 20:39
真差劲
临江山人
竞赛题基本都是超纲。9➗sin60得到外接圆直径，垂径定理得到高度，收工。
归家浪子 回复 05-18 23:48
没错。本来是一点就通的天才普通游戏，非要变成全民痛苦根源。国人犯贱已经有很长时间的历史积淀，都快刻入基因了。。
adhere to 回复 05-23 14:27
这没超纲，都用初中的知识点，只是要做些辅助线，正弦定理，垂径定理，圆周角定理、勾股定理、30度或60度锐角三角函数值都是初中知识点，用这些就可以算出三角形BCE面积
一点零七
水静流深 回复 06-11 23:57
这个题就没意思了，就是个计算题😂
精神科雨医生
瞪眼大法，27
你的选择 回复 06-04 11:40
那也要证明 CD=DE
用户10xxx89
算了就会发现结果是 9X=9X
还吃收你来了
解： 1、易知矩形 ABCD 的四个顶点共圆（对角互补的四边形的四个顶点共圆），连接 AC、BD 交于点 O，明显的，O 为矩形 ABCD 外接圆的圆心。 因为∠BEC=60°，所以∠BOC=120° （同一条弦或同一段弧对应的圆周角是圆心角的一半）即▲OBC 是顶角为 120° 的等腰三角形 由题目可知 BC=AD=9cm，所以 OB=OC=3√3cm，所以 AC=2OC=6√3cm 在 Rt▲ACD 中，由勾股定理得： CD²=AC²-CD²，即 CD=3√3cm 故 S▲BCE=½×9cm×3√3cm=27√3/2 cm²
还吃收你来了 回复 06-12 21:08
这题竞赛的屁都吃不到[哭笑不得][开怀大笑][哭笑不得][开怀大笑]
上善若水
三角形面积正弦定理是S＝1/2*BE*CE*sin60，第一种解法一上来公式就错了。
用户98xxx85
呵呵。根据勾股定理，可以求出来AB边等于4，矩形面积等于36。三角形ABE面积等于6，三角形CDE面积等于12。用矩形面积减去两个三角形面积等于18。
zxslh 回复 05-24 03:29
你的勾股是用屁股想出来的吧？
大风歌68
27
宋幸福
做e点垂直bc为o点，eoc=ecd eo=ed=6 6*9 ／2=27
用户10xxx71 回复 06-08 03:21
eo=cd，不是ed
落清尘
我算出这个答案，跟搜题软件答案不一致，不过我检查了好几遍，感觉我这个算法没有漏洞。
ZampampY 回复 甩锅QAQ 06-11 08:37
大哥，一个圆上面的半径当然相等啊
甩锅QAQ 回复 06-10 17:49
DF=AE 不太严谨吧？ 你这默认OE=OF了吧
用户14xxx95
这道题只要求出长方形的高即可，长方形的高等于AB或DC，设<AEB=a，则<DEC=2/3兀-a，解方程tga=2tg（2/3兀-a），求出a值即可算出△BEC的高和面积。
linda 回复 06-13 16:57
我的思路也是这个
来自星星的大橘喵
18
工妨赚
两种解法，均设AB长度，即三角形BCE高度h：解法1、将三角形BCE的面积表达为1/2*BC*CE*sin60°=1/2*9*h，而BC、CE又分别可以用勾股定理表达为两条直角边平方和的平方根。代入后解出h，则所求面积等于9/2*h; 解法2、由点E作BC的垂线交BC于F，则根据正切函数定义式，tg(角BEF)=3/h，tg(角CEF)=6/h。而角BEF+角CEF=60°度，设角BEF角度值为a，则有tg(60-a)=2*tg(a)。tg(60-a)可以按照公式展开，并注意tg60=√3，最终解出tga＝（√11-√3）/4。于是h=3/tga=3/2*(√11+√3)，三角形BCE面积＝9h/2=27/4*(√11+√3)。两种解法都是我自己想的，以上解法2解出的最终数值简单明了，但解法1解出的结果则带双重根号，还需要进一步检查。但我确信两种解法都是对的，这道题有点意思。另外，我把原题分别让元宝、豆包来解，结果元宝一通苦算最终未能解出，豆包用的是对三角形BCE展开余弦定理，但在解题过程中竟然出现了运算错误以致最后结果错了。[裂开]
上善若水 回复 05-29 19:05
抄作业抄了个错的。哈哈。
用户10xxx54
按比例就长方形一半
魔道祖師 回复 05-22 01:31
宽还不知道呢
无言 回复 魔道祖師 06-10 13:56
求出高就可以，得找到方法
武寒旭
设矩形高x，列出二个直角形斜边方程，列出三角形BEC边BC余弦方程。己知条件都用上了，解方程即可。
重庆年味集
拉窗帘，小学奥数题
老F
若提前学过和角正切公式就可以设小角正切x大角正切2x.俩角和为60度，直接解出x，再求高和面积即可。若用初中方法可以过E作高，然后分别沿BE和CE对称，再延长，形成一个筝形，可利用60度作垂线构造直角三角形利用勾股定理求出筝形的长边，除以根号三得到高即可求面积。两种方法都是解一元二次方程，没有出现根号套根号
用户14xxx95
△BEC的面积=1/2长方形的面积。
誹妳鈈可
没这么麻烦，高中的知识正余弦定理，和差公式，初中一线三等角都能解决，也不复杂
用户15xxx26
设矩形短边为h，则有方程9h=EC·EB·½√3（同一三角形面积的不同算法）。其中EC=√36+h²；EB=√9+h² 解题思路简单，但是运算比较恶心
圆月有缺时
（3+6）×6÷2=27
松清
我猜是54
星空 回复 05-21 21:15
我猜27
同声
正方形abcd的一半
cheng01637
余弦定理可以解出长方形的另一边，也就是三角形的高。
用户53xxx95
多年之后我还记得余弦定理，但是好像不好算[捂脸哭]
hidxl
[抱抱]
jsnjsun
½27√3
du
那不可能的，因为我们用了60°的条件了。之前写的式子表达的有点不清楚，所以删了。算出来肯定没问题，我算过了。之前的式子第一次算出来的是个平方，你开方就是x。
闹钟企鹅
直接余弦定理暴力解了,但这个答案真是初中水平的题吗？
誹妳鈈可 回复 05-29 00:00
是，这道题三，四中解法，初中用一线等角即可
嗄呗
直接AB为x就可以了。容易计算出BE CE BC的长度。使用余弦定理建立等量关系，解出x即可。
空虚的想象
简单问题复杂化，算出长宽高就好了，
宁静致远
利用拉窗帘的方法，E点移到A，三角形面积不变，可以直观知道三角形面积是长方形面积的一半。题目已经告诉我们AD长9，只要求AB或者CD。图上已知角BEC是60度，按正切即可求得长度。于是面积求得。
工妨赚
两种解法，均设AB长度，即三角形BCE高度，为h：解法1、将三角形BCE的面积表达为1/2*BC*CE*sin60°=1/2*9*h，而BC、CE又分别可以用勾股定理表达为两条直角边平方和的平方根。代入后解出h，则所求面积等于9/2*h; 解法2、由点E作BC的垂线交BC于F，则根据正切函数定义式，tg(角BEF)=3/h，tg(角CEF)=6/h。而角BEF+角CEF=60°度，设角BEF角度值为a，则有tg(60-a)=2*tg(a)。tg(60-a)可以按照公式展开，并注意tg60=√3，最终解出tga＝（√11-√3）/4。于是h=3/tga=3/2*(√11+√3)，三角形BCE面积＝9h/2=27/4*(√11+√3)。两种解法都是我自己想的，以上解法2解出的最终数值简单明了，但解法1解出的结果则带双重根号，还需要进一步检查。但我确信两种解法都是对的，这道题有点意思。另外，我把原题分别让元宝、豆包来解，结果元宝一通苦算最终未能解出，豆包用的是对三角形BCE展开余弦定理，但在解题过程中竟然出现了运算错误以致最后结果错了。
XExpress
我列出了三角方程 求解要用到二次方程求根公式 不好算
XExpress 回复 用户10xxx96 05-22 21:04
求根公式里含tan(pi/3) 不敢继续算了[笑着哭]
用户10xxx96 回复 05-22 19:14
套一元二次方程通解公式就行，还好
扬天电脑维修
好像过e点做个垂线，比较方便，我是懵的27.
用户93xxx87
设长方形宽为h=AB=CD 设BE=x,CE=y 则有以下等式同时成立: 1/2xy*sin60=1/2(3+6)h; x^2=3^2+h^2; y^2=6^2+h^2; 求解可得h 则三角形面积=4.5*h
用户93xxx87 回复 05-23 15:34
综上，题不难，但出题水平不咋地，结果特别复杂！差评
天之叹 回复 06-11 15:09
那个三角形面积等于长方形总面积的一半，一眼就能看出来，关键是具体数据是多少啊，至少有三角函数表的话肯定能得出一个准确的结果
用户14xxx14
第一，所要求的三角形面积是长方形面积的二分之一。第二，设∠AEB＝a°，则∠CED＝120°-a°；而AE×tan a＝ED×tan(120—a) ,即：3tan a＝6tan(120—a)。解得：tan a＝（√3+√11）/2。故三角形BEC面积＝（6+3）×3×tan a/2=27×(√3+√11)/4
色影无忌 回复 05-25 20:46
正确
用户10xxx49 回复 色影无忌 06-08 13:22
正解
影子
一眼CD=ED,难道面积等于27[得瑟]
老何
这个钓鱼贴真厉害啊。
drizzle
这题实质就是求高，角AEB和角DEC的正切值之比是2，两角和是120度。用角度和的正切公式列方程就可求出两角的正切值
大王
AE：ED=1:2 所以角AEB等于60度 那么角ABE等于30度 AE等于BE的一半 所以BE等于6 那么AB等于27开根号等于3倍根号3（3*1.72即5.2） 等地等高求得三角形ABC等于三角形BEC（即等于长方形面积一半） 5.2*9/2=23.4
大王 回复 06-11 12:49
这个是刚好赶上这个角是30度 后面想想方法应该错了
用户16xxx32
过B做CE垂线，利用勾股定理列方程
不经意时
根本就很难算出来，我去问deepseek，把它都弄烧机了[捂脸哭]过程太多
眼睛的主人
看不明白宁静致远的方法，但3，6倍数，60度，肯定是对称或旋转，搞一个直角三角形出来。。
眼睛的主人 回复 05-17 23:33
查了答案，简直了。。更号3和更号11都出来了。。。[捂脸哭][敲打]辅助外接圆，醉了。。
用户77xxx95
叫扯淡，bec角为60.那其他两个和会有120吗？
adhere to
初中解这道题，暴力计算就是利用正弦定理或余弦定理设未知数列方程组，然后带入已知量解方程组，这种方法计算量大，费时费力，但不需要太多思考，但显然不是竞赛出题人的初衷，就种题来说，做三角形BCE外接圆，再做BC垂直平分线，首先用正弦定理：BC➗sin∠BEC＝2R得到三角形BCE的半径，由垂径定理得出结论之前所做BC垂直平分线经过圆心，然后作BC弦的圆心角，再连接圆心与点E，三角形BCE的高为BC中垂线与AD和BC交点距离，也既圆心到AD与BC距离之合，又圆心角度数为圆周角2倍，根据勾股定理即可算出圆心与BC距离，已知E与AD中垂线距离和半径根据勾股定理即可算出圆心与AD距离，至此即可得到三角形BCE在BC上的高，底和高都知道自然就算出三角形BCE的面积
理性讨论问题不带嘛人的
我不会算，但是我猜是一半长方形的面积。。。
胖胖猫2号
余弦定理可解，但是超纲了。
胖胖猫2号 回复 05-23 17:07
可以算出长方形短边为3（√11-√3)/2
王霸丹
我问了一下高德，高德说不会，问百度；百度说不会，问腾讯；腾讯说：问错人了
逝水
这道题要求学生敏锐的方程思维，而不能陷在算术思考，方程是初中小学的一个分水岭。其次是角度的运用一一主要是解直角三角形，所以要构建一个含此6 0角的直角三角形。致此时问题就能迎刃而解了：用三角形面积不同的底与高计算构成方程或用勾股定理建立同一线段长度的不同计算方法构建方程。
酷跑大师
过E做垂线，什么问题解不了？这就是小学数学题，还TM正弦余弦
圆月有缺时
底（3+6）×高{（3+6）÷2}÷2=9×4·5÷2有谁能看懂？
丹尼55
读了个假985吧
叶尘 回复 06-14 19:10
时间太久了这种小公式公理已经忘了…孩子上学了，那离自己学这个知识点最少20到30年了，谁记得住这种小公式公理
德先生跟赛先生何在
前几天刚琢磨了两天解除了一道类似说法的几何题
小萝卜头
C点做BE的垂线，可解
漂流
参考我女儿八下正方形章节，顶角45度题的解题方法，作BC边的高EH，作△EBM与△EBH对称于EB边，作△ECN与△ECH对称于EC边，连接MN，延长MB，NC相交于P，过C点作MP垂线CQ，垂足为Q。根据有两个角是60度，易证△MNP是等边三角形，设MN=2x，则直角△BCQ中，BQ=x，BC=9，CQ=√3（x-3）。据此，我计算出的答案是27/4(√11+√3)，计算过程比较复杂，答案有待验证。
cqyuh 回复 06-10 16:09
请问：过C点作作MP垂线CQ，为何就得出了BQ等于MN的一半呢？
漂流 回复 cqyuh 06-11 07:55
因为MP=MN=2x，PQ=1/2PC=1/2（2x-6）=x-3。BQ=MP-MB-PQ=2x-3-（x-3）=x
暖意序言
过B作BF⊥CE于F，设EF＝x，则BF＝√3x，BE＝2x，AB＝CD＝√(4x²-9)，CE＝√(4x²+25)，CF＝√(81-3x²)，CE＝CF+EF，√(4x²+25)＝x+√(81-3x²)，得了，这个方程太难解了
傲慢的上校
解个二元一次方程求得边长而已，三角形面积等于矩形面积一半
drizzle
这题实质就是求高，角AEB和角DEC的正切值之比是2，两角和是120度。用角度和的正切公式列方程就可求出两角的正切值
差池其羽
按照，等低等高的三角形面积相等思路解这个题，很简单，等于27
孤鹰
缺个条件，算不出来。要知道长方形的另一个边长。
叶尘 回复 06-14 19:09
[抠鼻]知道另外个边长还要你来算？
道友
设tan∠CED=x，依题意得tan∠AEB=2x，tan(∠CED+∠AEB)=tan120º=-√3=(x+2x)/(1-2x²)➱2x²-√3x-1=0解得x=(√3±√11)/4，又x＞0，所以x=(√3+√11)/4，S△BCE=9*6x÷2=27x=27(√3+√11)/4
用户10xxx33
别侮辱我的智商，这题初三学生设个方程太简单了
林木森
目测面积为27平方厘米，（一分钟心算），本人高中毕业，不知道你们大学怎么读的？[滑稽笑]
林木森
目测面积为27平方厘米[滑稽笑]
用户10xxx26
一半长方形面积
用户10xxx60
从E点做一条垂直线到到BC线可以得到F点。就可以知道三角形ABE等于三角形BEF。三角形EFC等于三角形EDC。就可以得出长方形的宽是6厘米。9*6除于2就是它的面积
一个转身的距离
相似而已
大陆季风
三角形面积是矩形面积的一半，好算的
ABC
22.5那
z111111a
这有啥难的？把长方形沿水平方向等分3份不就出来了
9 他
这图有问题，∠BEC明显不是60°
胜天半子祁同伟
列方程能硬做出来
用户18xxx75
取ED中点F，则有∠BFC=60°，四边形BEFC共园。根据弧角60°可以确定圆心位置及园半径，很容易算出圆心上边及下边的高度及两高之和（和等于AB的长度或者说是△BEC的高）H⑴=9/2÷√3=3/2√3 r=3√3 H⑵=3/2√11 H=3/2（√3+√11） S△BFC=9/2*3/2（√3+√11）=27/4（√3+√11）
用户16xxx47
小学题目应该重点在切和重组吧？
用户16xxx47 回复 06-14 23:36
看错，初中的竞赛题，那么直接上高中解法吧。设个未知数，然后余弦定理试试吧
比尔盖GUO
话说学这些能证明什么？又不用搞研究！[抠鼻]
成为有关
一大堆道理 没一个人给了答案的数字
#一路向北*
过B或者C做三角形BEC的高，构造一个60度的直角三角形和一对相似的直角三角形，设长方形的高，然后可以解出来
三清鱼
E点作垂线，所以面积是1/2矩形
H缓释S
因为三角形面积是底x高÷2，所以三角形是长方形的一半。
率阿咚
6*9=54/2=27
gsyqw
口算都不要10秒钟
半梦半醒半浮云
让李嘉诚过来解答比较现实，毕竟他是有钱人，
用户10xxx41
三角AEB根据勾股求岀AB就小学题了
czs
用向量做，分分钟
用户10xxx69
取取ed中点f，连bf，cf，则有∠bfc＝60º，显然bcef四点共圆，圆的半径可求，ef＝3，去ef中点M，记圆心为O，三角形OEM中，利用勾股定理可求出OM，取BC中点M，易得N在OM，三角形OBN中，可求出ON，AB＝OM+ON，三角形BCE面积也就求出来了
用户13xxx13
做ef垂直bc可以得出efcd为边长6㎝的正方形。AD＝bc＝9㎝，ef＝6。因此三角形bec＝9×6÷2=27
无言
等于长方形面积的一半。求出长方形面积就出来了
用户14xxx99
小学试题
用户16xxx37
将E点移至AD中点处，同底等高三角面积相等，求底为9等边三角形面积即可。81/4根号3
天宇之境
27，太搞笑了，一道小学题难倒一大片高等数学天才！！！
天王老子
想要辅导孩子，必须把他的课本全部跟着学一遍才行，真是985的辅导初中生完全没问题，只不过需要一些方法！
用户25xxx72
我想到解题方法了，你们帮我解方程，设∠AEB=角1，∠DEC=角2，角1+角2=120°，这个正确吧(因为中间有个角60°，所以两边两个角加起来120°)，设长方形高是H，所以TAN角1=H/3,TAN角2=H/6,所以TAN角1=2倍TAN角2(这个条件用不用不知道，先备用)，但有一个公式一定有用，两角差正切公式，即TAN角1=TAN(120°-角2)=TAN120°-TAN角2/1+TAN120°*TAN角2，TAN120°是高中三角函数一个已知数，TAN角2=H/6,带入上面那个公式，我想解H的值应该能解出来(还有TAN角1=2倍TAN角2这个条件呢应该不会解不出来吧)，H的值解出来之后，三角形面积我一眼看出等于长方形面积的一半，(把60°那个顶点E平移到点A，三角形底和高还是没变，同底等高)，不要带入那些什么三角形正弦面积公式，那样计算反而还麻烦，就是底乘高最简单，你们帮忙解解哈，谢谢了
用户80xxx03
竞赛题呀，那没问题了。设宽为x，勾股定理可得60º角的两边，然后左右两面积相加与中间面积相等可得等式。即可得解。
渔樵
同底等高，面积相等，就是长方形面积的一半。
用户12xxx43
其实就是在三角形上用余弦定理就算出来啦
丿思丶念灬
我只会等面积法：1/2*h*9=1/2*cos60*两斜边，最后算法数据感觉好大！四次方了，要配回一次方！
一种走漏的风
从B点做垂线到CE，垂点为H ， 设EH为X，那么BE等于2X，根据勾股定理求出AB的表达式，然后是BH的表达式，EC表达式也可以求出，然后用EC表达式和6算出AB=CD的表达式，完成了表达式循环，解出X ，答案全解
请叫我俭哥
985又怎么了，985只是总分还可以，就是该拿的分都拿了，但是比较难的题也照样不会